المنحنى الطبيعي المعياري

توزيع متصل له شكل الناقوس.
*

تتساوى فيه مقاييس النزعة المركزية الوسط والوسيط والمنوال.
*

متماثل حول وسطه (صفر).
*

الانحراف المعياري له يساوي الواحد الصحيح.
*

طرفاه يمتدان إلى مالا نهاية دون أن يلتقيا المحور الأفقي.
*

المساحة أسفله وفوق المحور الأفقي تساوي الواحد الصحيح.
*

معياري بمعنى أنه يمكن مقارنة أشياء مختلفة.
*

الالتواء و التفلطح صفر.
*

يحمل نسب متساوية وثابتة من الوسط فجهة اليمين (يمين الوسط) موجبه ويسارها سالبه.





مثال(2) مثال(3) مثال(4) مثال(5) مثال(6) مثال(7) مثال( مثال(9) مثال(10)

مثال(1):

احسب المساحة المحصورة بين i– 2.14 , 1.54والواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي والمبينة بالشكل المرفق.

الحـل:

نعلم أن العدد i1.54يقابله في جدول Z قيمة المساحة الواقعة يساره وكذلك العدد i– 2.14 تقابله مساحة في جدول Z والفرق بين المساحتين يعطينا المساحة المطلوبة.

مع ملاحظة حسابنا للقيمة السالبة بموجبها مطروح من الواحد الصحيح.
العدد المساحة
1.54 0.9382
– 2.14 1 – 0.9838 = 0.0162



المساحة المطلوبة = i0.9382 – 0.0162

= i0.9220

أو بجمع القيم الجدولية للقيمتين مباشرة بحذف 0.5 من قيمها الجدولية أي

المساحة المطلوبة = i0.4382 + 0.4838

= i0.9220

تنويه: جدول z يقرأ المساحة على يسار العدد وعليه نقول

المساحة على يمين العدد 1.54 = 1 – 0.9832 = 0.0168

المساحة على يمين العدد صفر هي 0.5

مثال(2):

احسب المساحة بين Z = – 1.5 , Z = – 0.43

الحـل:

المساحة المطلوبة = المساحة على يسار –0.43 مطروحاً منها المساحة على يسار –1.5

= (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

= 0.3336 – 0.0668

= 0.2668

أو

P(– 0.43 > Z > – 1.5)= [1– P(Z < 0.43)] – [1 – P(Z < 1.5)]

= (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

= 0.3336 – 0.0668

= 0.2668

مثال(3):

احسب المساحة بين Z = 1.5 , Z = 0.43

الحـل:

المساحة المطلوبة = المساحة على يسار1.5 مطروحاً منها المساحة على يسار0.43

= 0.9332 – 0.6664

= 0.2668

أو

P( 0.43 < Z < 1.5)= P(Z < 1.5) – P(Z < 0.43)

= 0.9332 – 0.6664

= 0.2668





مثال(4):

إذا كانت مجموعة مكونة من 400 عضو في نادي تتوزع توزيعاً طبيعياً في العمر بمعدل 40 سنة بانحراف معياري قدره 5 فاحسب:

1) عدد الأعضاء الذين أعمارهم بين 35 إلى 45 سنة.

2) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 50

3) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 35 واكبر من 45

الحـل:

1) نحسب قيمة Z من القانون للعمر 35:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 35 – 40) ÷ 5 = – 1

القيمة الجدولية المقابلة للعدد – 1 (المساحة ) هي 1– 0.8413 = 0.1587

" لاحظ عدد الأعضاء هنا = 0.1587 × 400 ≈ 64 "


" لاحظ أن العدد 0.1587 هو احتمال عمر العضو أقل من 35 سنة "

" لاحظ مساحة المنطقة الصفراء A = 0.5 – 0.1587 = 0.3413 "

نحسب قيمة Z من القانون للعمر 45:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 45 – 40) ÷ 5 = 1

القيمة الجدولية المقابلة للعدد 1(المساحة ) هي 0.8413

ويمكن حسابها من –1 السابقة وهي 1 – 0.1587 = 0.8413

" لاحظ عدد الأعضاء هنا = 0.8413 × 400 ≈ 337 "

" لاحظ أن العدد 0.8413 هو احتمال عمر العضو أقل من 45 سنة "



" لاحظ مساحة المنطقة الصفراء B = 0.8413 – 0.5 = 0.3413 "

الفرق بين المساحتين = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 أو مجموعهم كما مبين بالشكل

المطلوب = 0.6826 × 400 ≈ 273 عضو

" من الملاحظتين أعلاه عدد الأعضاء = 337 – 64 = 273 "



2) نحسب قيمة Z من القانون للعمر 50:



Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 50 – 40) ÷ 5 = 2



القيمة الجدولية المقابلة للعدد 2 ( المساحة) هي 0.9772على يسار القيمة 2



فيكون عدد الذين تقل أعمارهم عن 50 = 0.9772 × 400 ≈ 381 عضو



لاحظ:

الذين يزيد أعمارهم عن 50 = (1 – 0.9772) × 400 = 0.0228 × 400 ≈ 9





3) الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 35 واكبر من 45 هم خارج الفترة العمرية للمطلوب 1)



والمبينة بالشكل المقابل باللون الأزرق وهي تمثل 1 مطروحاً منه المساحة 0.6826 أي:



المساحة = 1– 0.6826



= 0.3174



عدد الأعضاء = 0.3174 × 400



≈ 127

وتمثلهم المساحة المبينة باللون الأزرق ـ أنظر الشكل المقابل ـ



مثال(5):

احسب قيمة العلامة الزائية للمئين 85

الحـل:

المئين 85 تمثله 0.85 من المساحة تحت منحى التوزيع الطبيعي

من جدول Z نبحث في عمود المساحة عن القيمة 0.8500 فنجد القيمة 0.8504 وهي أقرب إلى 0.8500 من 0.8485 يقابلها في عمود Z القيمة 1.04



لاحظ:

للحصول على Z من الجدول يجب معرفة قيمة النسبة (المساحة تحت المنحنى الطبيعي) سواء كان لجزء من المائة (المئين) أو لنسبة مئوية 15% مثلاً سواء كانت أكثر أو أقل أو يساوي وبالتالي نبحث في جدول Z عن الكسر العشري 0.15 مثلاً ومنها نعرف قيمة Z من الجدول مباشرة للمفهوم يساوي أو أقل من، ولكن حال ذكر أكبر من 15% أي على يمين العدد وجدول Z يعطي قيم المساحة على يسار العدد (أقل من) فنبحث عن 85% التي تمثل يسار Z أو أقل من 85% المقابلة إلى 100% – 15% = 85%

مثال(6):

ما العلامة التائية للعلامة الزائية للعلامة 75 وكذلك احسب العلامة الزائية للعلامة التائية 800

الحـل:

العلاقة الرياضية التي تربط العلامتان الزائية والتائية هي:

T = 10Z + 50 → (1)

يمكن صياغتها بالصورة الآتية:

Z = (T – 50) ÷ 10 → (2)

بالتعويض في (1) عن 75

T = 10Z + 50 → (1)

= 10×75 + 50

= 800

نعوض في (2) عن 800

Z = (T – 50) ÷ 10 → (2)

= (800 – 50) ÷ 10

= 750 ÷10

= 75

لاحظ: في حالة إعطاء علامات زائية وتائية وطَُلب ترتيبها فيجب تحويل الزائية إلى تائية أو العكس

2) هناك علامة معيارية أخرى تعرف بدرجة SATت(Scholastic Aptitude Test) بوسط حسابي i500 وانحراف معياري i100حيث:

SAT = 100Z + 500

مثال(7):

متوسط بيانات مجتمع 85 وانحرافه المعياري 20 فما قيمة الدرجة التائية التي تقابل العلامة 140.

الحـل:

العلاقة الرياضة المطلوبة لحساب Z هي:

Z = (X – μ) ÷ σ

= (140 – 85) ÷ 20

= 55 ÷ 20

= 2.75

نحول العلامة Z إلى علامة تائية من العلاقة الرياضية:

T = 10Z + 50

= 10×2.75 + 50

= 77.5

لاحظ : في حالة عدم معرفة الانحراف المعياري والوسط نعتمد الوسيط والمدى لحساب Z من العلاقة الرياضية:

الدرجة المعيارية Z = (الدرجة الخام – الوسيط) ÷ المدى الربيعي

مثال(:

اختير طالب عشوائياً من مجتمع نسبة ذكاء أفراده تتبع توزيع طبيعي وبمتوسط حسابي 80 وانحراف معياري 10 فأوجد:

1) احتمال أن تقل نسبة ذكاء الطالب المختار عن 90

2) احتمال أن تزيد نسبة ذكاء الطالب المختار عن 105

3) احتمال أن تتراوح نسبة ذكائه بين 90 ، 105

4) وضح ذلك بيانياً (المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي).

الحـل:

1) نحسب العلامة المعيارية (Z ) التي تقابل القيمة 90

Z = (X – μ) ÷ σ

= (90 – 80) ÷ 10

= 1

من جدول Z نجد أن المساحة المقابلة = 0.8413 وهو الاحتمال المطلوب

2) نحسب العلامة المعيارية (Z ) التي تقابل القيمة 105

Z = (X – μ) ÷ σ

= (105 – 80) ÷ 10

= 2.5

من جدول Z نجد أن المساحة المقابلة = 0.9938

وحيث المطلوب أن تزيد نسبة الذكاء فيكون الاحتمال المطلوب = 1 – 0.9938 = 0.0062

3) الاحتمال المطلوب = احتمال أقل من 105 مطروحاً منه احتمال أقل من 90 أي:

P( 90 < X < 105 ) = P( X < 105 ) – P( X < 90 )

= P( Z < 2.5 ) – P( Z < 1 )

= 0.9938 – 0.8413

= 0.1525

4) مبين بالشكل، لاحظ مجموع الاحتمالات الثلاثة يساوي الواحد الصحيح.

مثال(9):

رتب العلامات التالية ترتيباً تنازلياً:

علامة تائية i80 ، وعلامة زائية i3.2 ، ورتبة مئينية i70% ، وعلامة SATاi600

الحـل:

نحول العلامات إلى الزائية:

العلامة التائية 80 :

T = 10Z + 50

80 = 10Z + 50

Z = 3

الرتبة المئينية 70%:

من جدول Z أمام المساحة 0.7000 نجد:

Z = 0.85

علامة SATا4:

SAT = 100Z + 500

600 = 100Z + 500

Z = (600 – 500) ÷ 100

Z = 1

الترتيب:

i 0.85 , 1 , 3 , 3.2

مثال(10):

برهن على أنَّ مجموع مربعات العلامات الزائية لقيم مفردات مجتمع يساوي عدد هذه المفردات (n) وللعينة عدد مفرداتها مطروحاً منه الواحد الصحيح (n–1).


الحـل:

مجموع مربعات علامات زائية لقيم مفردات مجتمعي يساوي عدد المفردات

بالنسبة للمجتمع يكون المجموع يساوي n وللعينة n –1 وهنا برهان ذلك للمجتمع وللعينة نكتفي باستبدال n بـ n –1

لتكن لدينا مجموعة من القيم:

Xi , i = 1, 2, 3, ..., n

وسطها الحسابي يحتسب من العلاقة الرياضية:

∑Xi

`X = ——

n

مجموع فروق القيم عن وسطها = صفر

∑(Xi –`X ) = 0

التباين S2 يحسب من العلاقة الرياضية التالية:

∑(Xi –`X )2

S2 = ————— → (1)

n



الانحراف المعياري σ يساوي الجذر ألتربيعي للتباين

نحسب قيمة العلامة الزائية من العلاقة الرياضية:



(Xi –`X )

Z = —————

S





نربع طرفي المعادلة السابقة فنحصل على:



(Xi –`X )2

Z2 = —————

S2



نجمع طرفي المعادلة:



∑(Xi –`X )2

∑Z2 = ——————

S2



نعوض عن قيمة S2 من (1)

∑(Xi –`X )2

∑Z2 = —————— × n

∑(Xi –`X )2

= n

فمثلاً : مجموع مربعات 6 علامات زائية هو 6 للمجتمع ، 5 للعينة

لاحظ أنَّ: مجموع العلامات الزائية لقيم مفردات مجتمع (أو عينة) يساوي صفر


















* تعريف .... التوزيع الاحصائي الطبيعي
هو أحد صور التوزيعات التكرارية ويمتاز بأنه متماثل حول الوسط الحسابي ويأخذ المنحنى المرسوم منه شكل الجرس.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــ
*امثله....
ا لأطوال ، الاوزان, الحجوم , الزمن , المسافات, درجات الحرارة الأسعار , معدلات الذكاء.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــ
*اهميته....
دراسة وتحليل الظواهر الاحصائية المختلفة وعلى الخصوص في ايجاد احتمال تحقق أي حادثة كما أنه هام جدا في النواحي الاقتصادية ونواحي إدارة الأعمال.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــ
*خواصه....
1- شكله يشبه الجرس متماثل حول الوسط الحسابي.

2- قيم س الممكنه هي - ∞ إلى ∞

3- تتساوى قيمة الوسط الحسابي مع الوسيط مع المنوال

4- يمتد طرفاه إلى ما لا نهايه ولا يمس المحور السيني ولا يقطعه أبدا

5- يتحدد شكل المنحنى بمعرفة تماما بمعرفة الوسط الحسابي والانحراف المعياري.

6- إن جملة المساحة تحت المنحنى الطبيعي تساوي واحدا صحيحا إذا تم النظر إليها من وجهة نظر مجموع التكرارات النسبية. حيث على يمين و نصف المساحة وعلىيساره النصف الثاني.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــ
ملاحظة:

1- المقصود بالتكرار النسبي للفئة : هو تكرار الفئة مقسوما على مجموع التكرارات والجواب مضروب في 100 والجدير بالذكر أن مجموع التكرارات النسبية لجدول تكراري يساوي 100 % أي واحد صحيح.



ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ
أ‌- إذا تغير الوسط الحسابي وبقي

الانحراف المعياري ثابتا فإن

مننحنى التوزيع يتغير يمينا أو

يسارا ولكن شكل التوزيع لا

يتغير.

- إذا تغير الانحراف المعياري

وبقي الوسط الحسابي ثابتا فإن

تشتت وتباعد المنحنى حول المركز

يقل كلما صغرت قيمة ع ويزيد

كلما كبرت

ج- إذا تغيرت قمة كلا من ع

والوسط الحسابي و

فإن مركز التوزيع يتغير

وتباعد منحناه حول المركز

يتغير كذلك.

الحالة الأولى: الحالة القياسية (الجدولية)

كيفية تعيين المساحة الواقعة

يسار قيم ز الموجبة

الجواب: بغايةالسهولة وهو

نستخرج المساحة من الجدول مباشرة



مثال:

إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:

1- ل ( ز< 5 ‚1)

2- ل ( ز< 3 )

الحل:

1- من الجدول مباشرة ل ( ز< 5 ‚1) = 9332 ‚

2- من الجدول مباشرة ل ( ز< 3 ) = 9987 ‚





الحالة الثانية: المساحة الواقعة يمين قيم ز الموجبة

س:كيف نعين المساحة الواقعة

يمين قيم ز الموجبة؟؟؟



الجواب:

في هذه الحالة لا نستطيع حساب المساحة الواقعة يمين قيم ز الموجبة من الجدول مباشرة ولكن نستخدم القاعدة التالية:

المساحة يمين قيمة ز الموجبة = 1- المساحة يسار قيمة ز الموجبة.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــ
مثال:

إذ1 كان ز متغير طبيعي معياري فأوجد ما يلي:

1- ل ( ز > 5‚1)

2- ل ( ز < 3 )

الحل:

1- أولا نرسم رسم كروكي لتحديد المساحة المطلوبة

ل ( ز > 5‚1) = ا- المساحة يسار ز= 5‚1

= 1- 9332 ‚ = 8 660 ‚





2- نرسم رسم كروكي للشكل لتحديد المساحة المطلوبة

ل ( ز < 3 ) = ا – المساحة يسار ز = 3

= ا- 9987 ‚ = 0013 ‚





الحالة الثالثة: 9987 ‚المساحة الواقعة يسار قيم ز السالبة



س: كيف نحسب المساحة الواقعة يسار قيم ز السالبة



الجواب:

المساحة يسار قيمة ز السالبة = المساحة يمين قيمة ز الموجبة

= ا- المساحة يسار قيمة ز الموجبة

مثال: إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:

1- ل ( ز<- 5 ‚1)

2- ل ( ز< - 3 )



الحل:

1- ل ( ز<- 5 ‚1) = ا- المساحة يسار ز= 5‚1

= 1- 9332 ‚ = 8 660 ‚

2- ل ( ز< - 3 ) = ا – المساحة يسار ز = 3

= ا- 9987 ‚ = 0013 ‚

الحالة الرابعة: المساحة يمين قيم ز السالبة

س: كيف نحسب المساحة يمين قيم ز السالبة؟؟

الجواب:

المساحة يمين قيمة ز السالبة= المساحة يسار قيمة ز الموجبة

تستخرج من الجدول مباشرة



مثال:

إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:



1- ل ( ز >- 5 ‚1)

2- ل ( ز > - 3 )

الحل:

1- من الجدول مباشرة ل ( ز>- 5 ‚1) = 9332 ‚

2- من الجدول مباشرة ل ( ز> - 3 ) = 9987 ‚





ملاحظة هامة:

· طريقة إيجاد المساحة يسار قيمة ز الموجبة هي نفسها طريقة إيجاد المساحة الواقعة يمين قيمة ز السالبة

وهي في الحالتين (تستخرج المساحة المناظرة لقيمة ز الموجبة من الجدول مباشرة)



· طريقة إيجاد المساحة يمين قيمة ز الموجبة هي نفسها طريقة إيجاد المساحة الواقعة يسار قيمة ز السالبة



وهي في الحالتين:

(1- المساحة يسار قيمة ز الموجبة)




الحالة الخامسة :المساحة المحصورة بين قيمتي زسواء

قيمتين موجبتين , قيمتين سالبتين , قيمة موجبة وأخرى سالبة

في كل من الحالات السابقة :

المساحة المطلوبة = المساحة يسار قيمة ز1 - المساحة يسار قيمة ز 2





مثال: إذا كان ز متغيرا طبيعيا معياريا فأوجد ما يلي:

1- ل (1 < ز < 2 )

2- ل (-2< ز < -3 )

3- ل(- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1)



الحل:

1- ل (1 < ز < 2 )

= المساحة يسار ز=2 – المساحة يسار ز= 1

=9772 ‚ - 8413 ‚ = 1359,





2- ل (-2< ز < -3 ) =

المساحة يسار ز= -3 – المساحة يسار ز=-2

المساحة يسار ز= -3

=1 – المساحة يسار ز=3

=1- 9987 ‚ =0013 ‚

المساحة يسار ز=-2

= 1- المساحة يسار ز=2

= 1- 9772 ‚ = 0228 ‚



إذن ل (-2< ز < -3 ) = 0228 ‚ - 0013 ‚

=0215 ‚

3- ل (- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1)

= المساحة يسار ز= 5 ‚1 – المساحة يسار ز= - 5 ‚2

المساحة يسار ز= 5 ‚1 = 9332 ‚ من الجدول مباشرة

المساحة يسار ز= - 5 ‚2

= 1- المساحة يسار ز= 5 ‚2

= 1- 9938 ‚ =0062 ‚



إذن ل (- 5 ‚2 < ز < 5 ‚1) = 9332 ‚ - 0062 ‚

= 9270 ‚



تصفح المزيد: http://www.sef.ps/vb/multka231886/#ixzz1iVZkmgOF