خصائص المنحنى الطبيعى

التوزيع المعتدل (الطبيعي) Normal Distribution
يرتبط هذا التوزيع بمتغير عشوائيمتصل وهو دالة في المتغير العشوائي ويمكن تمثيله بيانياً وهو من أهم التوزيعاتالاحتمالية لتمثيله العديد من الظواهر وهو المناسب لها سواء كانت القيم التي تحدثفي الظاهرة كبيرة جداً أو صغيرة جداً باحتمالاتصغيرة.
هو توزيع مستمر يعرف أيضاً بتوزيع جاوس (كارل جاوس) حيثجرى نشره سنة 1733م ويعتبر المتغير المعتدل عشوائي مستمر لكونه يتكون من عددلانهائي من القيم الحقيقية والتي يمكن ترتيبها على مقياس متصل، وهو من أهمالتوزيعات في علم الإحصاء بل يعتبر أساساً لكثير من النظريات الإحصائية الرياضيةويلعب دوراً أساسياً في اختبارات الفروض الإحصائية وفترات الثقة وغير ذلك وأنالكثير من الصفات كالطول والوزن ومستوى الذكاء والزواج وما إلى ذلك إذا قيست ولعددكبير من المشاهدات فإن توزيعها يقترب من التوزيع الطبيعي إن لم يكن يأخذ صورةالتوزيع الطبيعي، ويعرف بأسماء مختلفة منها التوزيع ألجرسي لكون شكله يشبهألجرس.

خصائص التوزيعالمعتدل:
1) منحنى التوزيع المعتدلمتصل (مستمر) منحناه (Normal Curve) يشبه شكل الجرس ويمتد ذراعه من– ∞ إلى ∞ .
معادلته الرياضية في الفترة ] – ∞ ، ∞ [هي:

بإجراءتكامل Y على الفترة ] – ∞ ، ∞ [ نحصل على المساحة تحتالمنحنى وفوق المحور الأفقي،والتمثيل البياني له كما مبين بالشكلالمقابل وكل نقطة من نقاط المنحنى تمثل قيمة لدالة تعرف بدالة كثافة الاحتمال (Probability density function) عند هذه النقطة والاحتمال هنا أي في التوزيعالمستمرهو قيمة المساحة تحت منحنى دالة الكثافةالمناظرة لفترة وليس لنقطة فالمساحة باللون الأصفر والمحصورة بين المنحنى والمحورالأفقي والمستقيمان x1 = a , x2 = b تساوي احتمال المتغير العشوائي المستمر X أيقيمة في الفترة [ a , b] هذا وأن المساحة الكلية الواقعة بين منحى التوزيع المعتدلوالخط الأفقي تساوي الواحد الصحيح وهي ما تعرف بالمساحة تحت المنحنى = 1 ولمعرفةاحتمال وقوع x بين x1 و x2 نحسب تكامل الدالة السابقة من x1 إلى x2 ، مع ملاحظة أناحتمال أي حدث P(A)sيقع بين الصفر والواحد الصحيح أي أن: 1s>sP(A)s>s0
2) المنحنى متماثل حول الخطالرأسي (العمود النازل من أعلى نقطة للمنحنى على الخط الأفقي) وإن التماثل يعني بأنصورة الشكل على أحد جانبي محور التماثل هي الجزء الواقع على الجانب الأخر وموقعالعمود على الخط الأفقي يمثل قيمة الوسط الحسابي أي أن المنحنى متماثل حول وسطهالحسابي أو حول المستقيم x = μ ، وان μ هي
القيمة المتوقعة ويصلالمنحنى لقيمته العظمى عند X = μ
3) المنحنى ممتد من – ∞ إلى + ∞ ولا يلتقي بالمحورالأفقي.
4) للمنحنى المعتدلمعلمتين هما الوسط الحسابي والانحراف المعياري معتمد كلياً عليهم فاختلاف الوسط أوالانحراف المعياري لتوزيعين معتدلين يعني اختلاف في الشكلأو
اختلاف في المركز كمامبين بالشكل الآتي ولكل زوج ( μ ، σ ) للوسط والانحراف المعياري منحنى توزيع مختلفوبالتالي تختلف المساحة تحت المنحنى لكل منحنى ولذا
أخذنا ( 0 ، 1) كتوزيعمعياري يسمى التوزيع الطبيعي المعياري متغيره العشوائي هو Z السابق ذكرها،وهنا جدول خاصبها.


هذهالصورة بحجم اخر انقر هنا لعرض الصورة بالشكل الصحيح ابعاد الصورة هي 864x237.



5) للمنحنى قمة واحدة أي له منوال واحد وبالتالي فالمنحنيوحيد المنوال
6) المتوسطات الثلاثة متساوية (الوسط والوسيط والمنوال) بالنسبة للمتغير العشوائيالمعتاد.
7) المساحة الواقعة تحت المنحنى والمحصورةبالمستقيمين:
x = μ – σوx = μ + σ تساوي 68.26% تقريباً من المساحة الكلية تحت المنحنىأي 68.26% من قيم المتغير العشوائي المعتاد تقع في [μ + σ ، μ – σ]
x = μ – 2σوx = μ + 2σ تساوي 95.45% تقريباً من المساحة الكلية تحت المنحنى أي 95.45% من قيم المتغير العشوائي المعتادتقع في [μ + 2σ ، μ – 2σ]
x = μ – 3σوx = μ + 3σ تساوي 99.73% تقريباً من المساحة الكلية تحت المنحنىأي 99.73% من قيم المتغير العشوائي المعتاد تقع في [μ + 2σ ، μ – 2σ]
أي أن وقوع أي مفردة علىبعد 1، 2، 3 انحرافات معيارية (s1s, 2s, 3s) من الوسطالحسابي هي القيم السابقة كما مبين بالشكلالآتي:

لاحظ أن 34.19% من المساحةتحت المنحنى التي تساوي الواحد الصحيح أي 0.3413 ، وبجمع القيم المبينة في الرسمأعلاه نجد أنها تساوي الواحد الصحيحتقريباً.
إن هذه القيم ما هي إلا احتمالات للقيم كمساحة تحتالمنحنى ولأي دالة احتمال يكون مجموع احتمالاتها البسيطة يساوي الواحد الصحيح ونقصدفي الأصل المساحة هنا لمساحة الأعمدة للقيم ولكن من الصعب رسم كل الأعمدة وعرضاحتمال كل منها ولذا استعضنا عنهاباحتمالاتها.


0.0013 + 0.0214 + 0.1359 + 0.3413 + 0.3413 + 0.1359 + 0.0214 + 0.0013 = 0.9998 ≈ 1


والتوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution) الذي وسطه صفر وانحرافه المعياري 1 متغيره العشوائيالمعياري Z بالصيغة السابق ذكرها، ومنحناه كما مبين أعلاه ويمكن حذف s من القيم علىالخط الأفقي وقد نضع قيم x والمناظرة لها Z على الخط الأفقي إن دعتالحاجة.
وقد أمكن إيجاد جدوللتوزيع معتدل معياري لقياس جميع التوزيعات المعتادة (اعتدالي) من خلال النظريةالتالية:
إذا كانت x متغير عشوائي له توزيع اعتدالي بتوقع μ وتباين σ2 حيث σ الانحراف المعياري فإن: Z = (x – μ)÷σ له توزيع اعتدالي وسطه صفر وانحرافهالمعياري واحد صحيح ويعرف بالتوزيع المعتدل المعياري وله جداول لقيم دالة التوزيعالاحتمالي ولقيم دالة كثافة الاحتمال لأي قيمة من قيم المتغير العشوائي، ويعرفالمنحنى هنا بالمنحنى الطبيعي القياسي خطه الأفقي مقسم لدرجات Z كما مبين بالشكلالتالي والذي يبين أيضاً المساحة تحت المنحنى وقد قسمت لدرجات معيارية حسب قيم Z حيث قيم x تناظرها قيم Z تحسب من الصيغة الرياضية السابقة أو من الصيغة: Z = ( x –`X ) ÷ s حيث s الانحراف المعياري وأن القيمة Z قيمة معيارية وهيالفرق بين القيمة المشاهدة والوسط الحسابي معبراً عنها بوحدات معيارية بمعنى أكثردقة قيمة Z عبارة عن عدد الوحدات المعيارية (الانحراف المعياري) التي تفصل بين قيمة x والوسط الحسابي.
وهناك خواص أخرى من بينها إذا كان Ln(x)sتوزيع طبيعي فإن x توزيع طبيعي وستذكر الأخرى في حينهاوالخاصة بتوزيع ذات الحدين وتوزيع χ2 .
يمكن صياغة معادلةالمنحنى بدلالة Z على الصورة الآتية حيث أن Y تمثل كثافة قيم المتغير الطبيعيالمعياري أو التكرارات للمنحنى.


يمكن تحويل قيمة المتغير المعتدل x لمتغير معتدل معياري Z من الصيغة السابقة فمثلاً إذا كان لدينا توزيع اعتدالي وسطه 150 درجة وانحرافهالمعياري 90 درجة فيمكن باستخدام الصيغة السابقة حساب قيمة x = 270 نستخدم الصيغةالسابقة أي أن:


Z = ( 270 – 90) ÷ 90 = 2


بالرجوعلجدول Zنجد أن المساحة تحتالمنحنى التي تقابل Z = 2 تساوي 0.9772 (المساحة التي تقع على يسار العدد 2 (الشكلكل السابق)، وتحسب بطريقتين:
الأولى : المساحة = 1 – (0.0013 + 0.0214) = 1 – 0.0227 = 0.9773
الثانية : المساحة = 0.0013 + 0.0214 + 0.1359 + 0.3413 + 0.3413 + 0.1359 = 0.9771



الاء فوزي
الاول ثانوي تجاري(ج)