منتدى مدرسة بنات جمال عبد الناصر
عزيزي الزائر / عزيزتي الزائرة يرجي التكرم بتسجيل الدخول إذا كنت عضو معنا
أو التسجيل إن لم تكن عضو وترغب في الانضمام إلى أسرة المنتدى
سنتشرف بتسجيلك

مع اجمل التحيات
إدارة المنتدى

منتدى مدرسة بنات جمال عبد الناصر

معلومات عنك انت مسجل الدخول بأسم {زائر}. آخر زيارة لك . لديك0مشاركة.
 
الرئيسيةشريط اخر المواضاليوميةمكتبة الصورس .و .جبحـثالأعضاءالمجموعاتالتسجيلدخولتسجيل دخول الاعضاء

شاطر | 
 

 التباديل....

اذهب الى الأسفل 
كاتب الموضوعرسالة
حورية الجنان
عضو جديد
عضو جديد


عدد المساهمات : 4
نقاط : 12
تاريخ التسجيل : 07/06/2011

مُساهمةموضوع: التباديل....   الأربعاء يونيو 08, 2011 9:51 pm

التباديل ::

ان من اهم التطبيقات لمبدأ العد الاساسي استخدامه في معرفة عدد طرق التي يتم بها ترتيب عناصر مجموعة ما بكل الطرق الممكنة فمثلا اذا كان لدينا 3 كتب مختلفة هي :: رياضيات , فيزياء , احياء . واردنا ترتيبها متجاورة على رف بكل الطرق الممكنة فاننا نحصل على التراتيب التالية ::

المكان الاول المكان الثاني المكان الثالث
رياضيات فيزياء احياء
رياضيات احياء فيزياء
احياء رياضيات فيزياء
احياء فيزياء رياضيات
فيزياء رياضيات احياء
فيزياء احياء رياضيات

اذن عدد التراتيب =6
نسمي كل تريتب تبديلاً

بوجه عام ::
تعريف ::
التبديل لمجموعة مكونة من ن من العناصر هو اي ترتيب لعناصر هذه المجموعة يرمز لعدد جميع هذه التراتيب (التباديل) بالرمز ل(ن,ن).

مثال(1)::
اراد اربعة اشخاص اخذ صورة جماعية بوقوفهم معا في صف واحد بكم طريقة مختلفة يمكن ان يصطف هؤلاء الاشخاص ؟؟

الحل::
الطرق المختلفة لاصطفاف الاشخاص هي التباديل المختلفة لمجموعة مكونة من اربعه عناصر اي ل(4,4) ولايجاد ل(4,4) يمكننا تصور المواقع الاربعة التي يقف بها الاشخاص الاربعة هكذا ::
يمكن اشغال الموقع الاول بِ4 طرق
يمكن اشغال الموقع الثاني بِ3 طرق
يمكن اشغال الموقع الثالث بِ2 طرق
يمكن اشغال الموقع الرابع بِ1 طرق

عدد جميع الطرق = 4*3*2*1=24 طريقة
اي ان ل(4,4) = 4*3*2*1=24


و بوجه عام ::
اذا كانت س مجموعة عدد عناصرها ن , فان عدد تباديل (تراتيب) هذه العناصر يساوي ل(ن,ن) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
و اختصارا في كتابة حاصل الضرب ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1 فاننا نكتبه على صورة ن! وتقرأ مضروب ن ((n factorial

تعريف ::
اذا كان عددأ صحيحيا موجبا فان مضروب فان مضروب ن (ويرمز له بالرمز ن! ) يعرف هكذا::
ن!= ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
0! = 1
اي ان مضروب ن يساوي حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية تبدأ بالعدد ن و تنتهي بالعدد 1


مثال (2)::
جد ناتج 5!
الحل::
5!=5*4*3*2*1=120

مثال (3)::
بين ان 8!=56*6!
الحل::
الطرف الايمن
8!=8*7*6*5*4*3*2*1
=8*7*(6*5*4*3*2*1)
=8*7*6!
=56*6!


مثال (4)::
اكتب كلا مما يلي باستخدام رمز المضروب
أ- 5*4*6*3*1*2
ب- 10*9*8
ج- ن(ن^2-1)

الحل::
أ‌- 5*4*6*3*1*2 =6*5*4*3*2*1=6!
ب‌- 10*9*8 = 10*9*8*7!\7! =10!\7!
ج- ن(ن^2-1) = ن(ن-1)(ن+1)
= (ن+1)*ن*(ن-1)
=(ن+1)*ن*(ن-1)*(ن-2)!\(ن-2)!
=(ن+1)!\(ن-2)!

مثال (5)::
اذا كان ن! = 720 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن! = حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها ن و اصغرها 1 لذا نكتب الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اصغرها 1 فيكون اكبرها ن .
720 = 6*5*4*3*2*1 = 6!
ن = 6

ملاحظة ::
تم اخراج العوامل عن طريق التحليل
270/1=270
270/2=360
360/3=120
120/4=30
30/5=6
6/6=1


مثال (6)::
اذا كان ن!\(ن-2)! = 20 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن!\(ن-2)! =20
ن(ن-1)(ن-2)!\ (ن-2)! =20
ن(ن-1) = 20
ن^2-ن-20 = 0
(ن-5)(ن+4)=0
ن = 5 , -4 و يرفض الجواب السالب
اذن ن = 5


تباديل ن من العناصر المختلفة مأخوذة راءً راءً ::
في كثير من الاحيان نهتم بترتيب بعض عناصر مجموعة من الاشياء المختلفة و ليس جميعها فاذا كان لدينا 4 كتب هي :: علوم , رياضيات , جغرافيا , اقتصاد و اردنا ترتيبها اثنين اثنين في كل مرة فان التراتيب الممكنة هي ::

علوم , رياضيات
علوم , جغرافيا
علوم , اقتصاد

رياضيات , علوم
رياضيات , جغرافيا
رياضيات , اقتصاد


جغرافيا , علوم
جغرافيا , رياضيات
جغرافيا , اقتصاد

اقتصاد , علوم
اقتصاد , رياضيات
اقتصاد , جغرافيا

اي ان عدد تباديل اربعة اشياء مأخوذة اثنين اثنين في كل مرة يساوي 12 و بالرموز ل(4,2)

وبوجه عام ::
يستخدم الرمز ل(ن,ر) للدلالة على تباديل ن من الاشياء المختلفة مأخوذة راءً راءً في كل مرة

مثال (7)::
اشترك 6 متسابقين في المونديال الاول للرياضيات . بكم طريقة يمكن ان تظهر فية نتيجة السباق للمراكز الثلاثة الاولى علما بأنه لم يحل اثنان في المركز نفسه ؟

الحل::
يمكن ملء المركز الاول بِ 6 طرق
يمكن ملء المركز الثاني بِ 5 طرق
يمكن ملء المركز الثالث بِ 4 طرق
اي يمكن ملء المراكز الثلاثة الاولى بطرق عددها 6*5*4=120 طريقة

لاحظ ان كل طريقة من هذة الطرق هي ترتيب لثلاثة متسابقين من بين المتسابقين الستة و بالرموز ::
ل(6 , 3)= 6*5*4=120
لاحظ ايضا ان ل(6 , 3) يساوي حاصل ضرب ثلاثة اعداد طبيعية تبدأ بالعدد 6



بوجه عام ::
نظرية ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) حيث ر,ن عددان طبيعيان
ر اكبر او تساوي ن

اي ان ل(ن,ر) يساوي حاصل ضرب من الاعداد الطبيعية المتتالية اولها ن و آخرها (ن- ر+1)

البرهان ::
ل(ن,ر) تعني عدد تباديل ن من الاشياء مأخوذة راءً راء ً في كل مرة
فاذا تصورنا راءً من الاماكن الخالية فانة يمكن ملء المكان الاول بطرق عددها ن ويمكن ملء المكان الثاني بطرق عددها ن-1 = ن-(2-1)
ويمكن ملء المكان الثالث ن-2 = ن – (3-1)
وهكذا . . .
و يمكن ملء المكان الاخير ( الرائي ) بطرق عددها ن- (ر-1)=ن- ر+1
اذن يمكن ملء جميع الاماكن بطرق عددها ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
اي ان ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
مثال (::
جد قيمة كل من : ل(10 ,3) , ل(5 ,4)

الحل ::
ل(10 ,3) = 10*9*8 = 720
ل(5 ,4) = 5*4*3*2 = 120



نتيجة (1)::
ل(ن,ر) =ن! \ (ن- ر)!

البرهان ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
و بضرب المقدار (ن-ر)! وبالقسمة علية يكون ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) *(ن-ر)!\ (ن-ر)!

= ن! \ (ن- ر)!

نتيجة (2)::
ل(ن , 0 ) = 1


لان :: ل(ن , 0 ) = ن! \ (ن- 0)! (من نتيجة (1) )
= ن!\ن! = 1


مثال(9)::
اذا كان ل(ن,2)=90 فما قيمة ن ؟؟

الحل::
هناك طريقتان لحل هذا المثال ::
الطريقة الاولى ::
الطرف الايمن ل(ن,2) يساوي حاصل ضرب عددين طبيعيين متتاليين اكبرهما ن لذا نكتب الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عاملين متتاليين فيكون اكبرهما = ن
90 = 10*9
ن = 10

الطريقة الثانية ::
ل(ن,2) = ن(ن-1) =90
ن^2- ن = 90
ن^2- ن - 90 = 0
(ن-10)(ن+9) = 0
اما ن = 10 او ن = -9 (ترفض)
اذن ن = 10


مثال(10)::
اذا كان ل(7 , ر) = 840 فما قيمة ر؟؟

الحل ::
الطرف الايمن ل( 7 , ر) = حاصل ضرب ر من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها 7 , لذا نكتب العدد 840 على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اكبرها 7
فيكون 840 = 7*6*5*4
اي ان ل( 7 , ر) = 7*6*5*4
ر = 4

840\7=120
120\6=20
20\5=4
4\4=1





تمارين ومسائل للذي او للتي تحب ان تجيب ::
1- حل/ي المعادلة ::
ل(ن^2+1 , 3) = 10ن*ل(ن+1, 3)

2- اثبت/ي ان ::
(2ن)!\ن! = 2^ن(1*3*5* . . . *(2ن- 1)

الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
معاينة صفحة البيانات الشخصي للعضو
 
التباديل....
الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
منتدى مدرسة بنات جمال عبد الناصر :: الرياضيات :: مشروع التباديل-
انتقل الى: